Необходимо добавить установку фокуса на текущее отображение:

WebView view = new WebView(context);
view.requestFocus(View.FOCUS_DOWN);
view.setOnTouchListener(new View.OnTouchListener() {
    public boolean onTouch(View view, MotionEvent me) {
        switch (me.getAction()) {
            case MotionEvent.ACTION_DOWN:
            case MotionEvent.ACTION_UP:
                if (!view.hasFocus()) view.requestFocus();
                break;
        }
        return false;
    }
});

WebView view = new WebView(context);
view.requestFocusFromTouch();

Источник: Tapping form field in WebView does not show soft keyboard